Функция ЛИНЕЙН
В общем случае решает задачу линейной множественной регрессии, вычисляя по методу наименьших квадратов вектор оценок параметров. Используется описанная нами выше модель:
Y = X*a + E
Синтаксис вызова этой функции:
ЛИНЕЙН (Известные_значения_Y; Известные_значения_X; Конст; Статистика)
Параметры функции имеют следующий смысл:
- Известные_значения_Y - задает вектор измерений.
- Известные_значения_X - в общем случае матрица значений наблюдаемых параметров. Если речь идет о временном тренде, то элементы X задают моменты времени, в которые проводились измерения. Можно опустить X, если значения элементов составляют последовательность 1, 2, 3 и т. д.
- Булев параметр "Конст" равен Истина (True), если в линейной записи модели присутствует дополнительно свободный член b, не входящий в вектор параметров a.
- Булев параметр "Статистика" равен Истина (True), если наряду с оценками параметров вычисляются и статистические характеристики.
- Результат вычислений этой функции - массив, в общем случае состоящий из 5 строк и n+1 столбцов, где n - это размерность вектора искомых параметров a.
- an, an-1, … a1, b
- ?n, ?n-1, … ?1, ?b
- R*R, ?Y
- F, df
- Ssreg, Ssresid
В первой строке идут оценки параметров a и свободного члена b. Оценки идут в обратном порядке, начиная с an. Они и определяют линию регрессии, позволяя рассчитать прогнозируемое значение Y в любой точке, где заданы значения наблюдаемых параметров.В следующей строке идут среднеквадратические отклонения этих оценок. Выше мы показали, как вычислить полную корреляционную матрицу оценок. Среднеквадратические отклонения являются диагональными элементами этой матрицы. Точнее, на диагонали стоят их квадраты - дисперсии DI = ?I * ?I. Значения ?I позволяют построить доверительный интервал для соответствующих оценок и вынести суждение об их значимости в линейной модели. Как вычисляются эти значения в Excel, нам осталось непонятно, так как алгоритм не описан. Можно лишь заметить, что применяемый алгоритм не всегда корректен с позиций классической математической статистики. Приведем пример. Пусть оцениваются, как часто бывает, два параметра a и b (Y = at +b). Пусть выполнены всего два измерения - Y1 и Y2. Тогда, каковы ни были ошибки в измерениях, линия регрессии пройдет через две наблюденные точки. Excel скажет, что оши
"µ бок в оценках параметров нет, и выдаст значения ?1 и ?2 , равные 0, хотя ясно, что это не так.Коэффициент детерминации R2 имеет значение в интервале от 0 до 1 и позволяет оценить, насколько хорошо сглаживаются измеренные значения линией регрессии. Он равен 1, если линия регрессии проходит через все измеренные точки. При этом можно полагать, что есть строгая функциональная зависимость между измеряемым значением Y и параметрами ai. Предыдущий пример показывает, что недостаточное количество измерений может приводить к такому же результату. Поэтому и к этому параметру надо относиться с осторожностью. Вычисляется коэффициент детерминации по формуле:
R2 = Dreg / D
и представляет отношение дисперсии, объясняемой регрессией, к общей дисперсии. О смысле этих терминов мы скажем чуть ниже.
Мы и так увлеклись понятиями математической статистики, потому не будем говорить о том, что означают и как используются параметры ?Y, F и число степеней свободы df.Последние два значения - Ssreg и Ssresid задают дисперсию, объясняемую регрессией, и остаточную дисперсию, представляющую разность между общей дисперсией и Dreg. Обе дисперсии вычисляются "обычным" способом:
D = (YI - E)2 ; Dreg = (YI - E)2 ,
где E - среднее значение измеренных значений, а YI - сглаженные значения, вычисленные из уравнения регрессии.
Мы подробно рассказали о "главной" для решения задач прогнозирования функции ЛИНЕЙН. Она позволяет построить уравнение регрессии, как для временных рядов, так и в общем случае линейной множественной регрессии, когда наблюдается несколько параметров.
Содержание раздела
