Среднесрочный прогноз и методы регрессионного анализа
Для среднесрочного прогноза обычно применяются методы регрессионного анализа. Хотя ничто не мешает применять их и для краткосрочного прогноза. Они основаны на получении оценок по методу наименьших квадратов. Эти методы и реализованы в стандартных функциях Excel, так что рассмотрим их подробнее. Начнем с наиболее простой модели линейного тренда. В основе модели лежит уже упоминавшееся соотношение:
Yt = a + b* t + Et
Это соотношение можно интерпретировать следующим образом. В каждый момент времени t измеренное значение спроса Yt является суммой неизвестной помехи Et и линейной функции времени с неизвестными (ненаблюдаемыми) параметрами a и b. Из-за помех решения, принимаемые на основе измерений, носят вероятностный характер. Найти точные значения параметров a и b в этих условиях невозможно, но, зная выборку Yt, можно вычислить оценки параметров. В статистике оценкой называют любую функцию от измерений. Оценки параметров a и b можно получить по методу наименьших квадратов из условия минимизации квадратичного функционала:
F(a, b) =
При этом, когда мы имеем дело с линейной моделью, минимум этого функционала находится аналитически, и в случае двух параметров можно явно выписать конечные соотношения для оценок параметров a и b. В этом одно из преимуществ метода наименьших квадратов. Прямая Yt = в + ^b* t , где a и ^b - оценки параметров, называется линией регрессии и используется для прогнозирования значений Y в произвольные моменты времени t. Конечно, чем дальше отстоит значение t от интервала наблюдений, тем вероятнее, что ошибка прогноза будет увеличиваться.
Метод наименьших квадратов хорош и с точки зрения статистики. Если предположить, что неизвестные нам помехи распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и, в общем случае, с заданной корреляционной матрицей, то полученные оценки обладают важными свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности. Мы не будем давать строгого определения всех этих терминов. Скажем лишь, что в классе несмещенных оценок наши оценки обладают минимальной дисперсией, т. е. минимальным разбросом относительно истинного значения параметров. Чем больше измерений, тем точнее оценки, так как уменьшается интервал, накрывающий истинное значение параметра с заданной вероятностью. Как ни странно, но практика показала, что предположения о характере помех зачастую оправдываются. В теории вероятностей этому факту есть хорошее объяснение. Недаром открытый Гауссом закон распределения называется "нормальным". Все в нашей жизни распределено по гауссиане.
Обобщим теперь постановку задачи на произвольное количество параметров, полагая теперь, что спрос может быть описан уже не линейной, а полиномиальной функцией времени, например:
Yt = a0 + a1 t + a2t2 + … + amtm + Et
Это полиномиальное относительно времени соотношение остается линейным по отношению к неизвестным параметрам. Для простоты перейдем к матричной форме записи соотношений:
Y = X*a + E
Здесь Y - вектор измерений, a - вектор параметров, E - вектор ошибок, X - прямоугольная матрица, элементы которой зависят от t и не зависят от параметров a. Для полиномиальной зависимости нетрудно выписать явный вид ее элементов:
X = || ti j.|| i= 1…n; j = 0..m;
Число строк этой матрицы определяется моментами времени t1, t2, … tn, в которые производились измерения, а количество столбцов определяется степенью полинома. Квадратичный функционал F(a) в матричной форме имеет вид:
F(a) = (Y - X*a)T R-1 (Y - X*a)
Продолжая обобщать постановку задачи, мы ввели корреляционную матрицу R ошибок измерений. В частном случае, когда отсутствует корреляция ошибок измерений и дисперсия их единична, матрица R превращается в единичную матрицу. Другой важный частный случай - диагональный, когда корреляция отсутствует, но дисперсия ошибки меняется от измерения к измерению. Величину, обратную к дисперсии -1/?2 , можно рассматривать как вес измерения. Так что введение этой матрицы позволяет приписать разный вес измерениям, придавая, например, больший вес последним измерениям.
Все эти обобщения не нарушают возможности получения аналитического решения. Вектор оценок a, минимизирующий квадратичный функционал F(a), определяется по формуле:
a = I-1 XT R-1 Y
Здесь I - информационная матрица Фишера, вычисляемая из соотношения:
I = XT R-1 X
Наряду с вектором оценок нетрудно получить и его статистические характеристики. Поскольку оценки являются несмещенными, для полного знания распределения вектора оценок достаточно знать его корреляционную матрицу. В данном случае она является обратной к матрице Фишера.
Ra = I-1
Даже если исходные измерения независимы, между оценками параметров может возникать корреляция. Правда, на практике чаще всего используют только значения их дисперсий.
До сих пор мы рассматривали временные ряды, и в наших измерениях присутствовал только один наблюдаемый параметр - время. В регрессионном анализе обычной ситуацией является проведение измерений, когда в каждой точке фиксируется несколько наблюдаемых параметров, влияющих на измеряемое значение. Применительно к задаче спроса такими параметрами могут быть, например, уровень текущей рекламы, количество конкурирующих товаров, погодные условия. Так что линейная относительно неизвестных параметров модель спроса в общем случае может быть такой:
Yi = a0 + a1 x1i + a2x2i+ … + amxmi + Ei
В матричной форме записи все соотношения остаются справедливыми, изменяются лишь соотношения для расчета элементов матрицы X. В заключение отметим, что при долговременном прогнозировании предположение о линейности тренда вряд ли справедливо, кривая спроса имеет более сложную форму и не описывается линейной функцией относительно параметров. В этом случае определить аналитически точку минимума квадратичного функционала F(a), обычно уже невозможно. Правда, есть одно важное исключение. Пусть:
Yi = F(a0 + a1 x1i + a2x2i+ … + amxmI)+ Ei
и функция G является функцией, обратной к F. Тогда линейная модель по-прежнему имеет место, но уже для преобразованных значений измерений:
G(YI )= (a0 + a1 x1i + a2x2i+ … + amxmI)+ Ei
С точки зрения статистики это преобразование измерений нарушает предположение о нормальном характере поведения измерений. Если закон распределения Yi был нормальным, то закон распределения G(Yi) таковым уже не будет. Поэтому найденные оценки лишаются теоретически обоснованного хорошего качества их поведения. На практике же такие процедуры применяют часто.
Но вовсе не обязательно приводить нашу модель к линейной относительно параметров. Она спокойно может оставаться нелинейной, так как существуют хорошо разработанные численные методы. Более того, можно использовать для минимизации функционала средство самого Excel - Решатель. Думается, найти минимум функционала не столь сложно - сложнее построить адекватную реальной ситуации модель спроса. Здесь надо выяснить, какие параметры, влияющие на спрос, поддаются прямому наблюдению, а какие требуется оценить по результатам наблюдений. Не менее сложно подобрать аналитическое описание кривой спроса с точностью до неизвестных параметров. Таким образом, экономисту, математику и программисту есть где поработать, создавая эффективную систему прогноза. Средства Office 2000, прежде всего Excel, облегчают решение этой задачи, а нередко позволяют получить ее решение на основе встроенных стандартных функций.
