Циклические вычисления и нахождение корней уравнения
Покажем, как можно использовать циклические вычисления на примере задачи нахождения корня уравнения методом Ньютона. Для простоты я начну с квадратного уравнения, а позже рассмотрю и более "серьезные" уравнения. Итак, рассмотрим квадратное уравнение: X2 -5X+6 =0. Найти корень этого (и любого другого уравнения) можно, используя всего одну единственную ячейку Excel. Для этого достаточно включить режим циклических вычислений и ввести в произвольную ячейку с именем, скажем X, рекуррентную формулу, задающую вычисления по Ньютону:
= X - F(X)/F1(X),
где F и F1 задают соответственно выражения, вычисляющие функцию и производную. Для нашего квадратного уравнения после ввода формулы в ней появится значение 2, соответствующее одному из корней уравнения. А как получить второй корень? Обычно, это можно сделать путем изменения начального приближения. В нашем случае начальное приближение не задавалось, итерационный процесс вычислений начинался со значения, хранимого в ячейке X по умолчанию и равного нулю. Как же задать начальное приближение в циклических вычислениях? Возникшая проблема не связана с данной конкретной задачей. Она возникает всегда в циклических вычислениях, - до начала цикла надо задать начальные установки. В рекуррентных соотношениях всегда есть некоторый начальный отрезок. Решать задачу задания начальных установок в каждом случае можно по-разному. Я продемонстрирую один прием, основанный на использовании функции ЕСЛИ. Вот как выглядит "настоящее" решение этой задачи, использующее 4 ячейки, две из которых нужны по существу дела, а две используются для повышения наглядности процесса вычислений:
- В ячейку с именем Xinit я ввел начальное приближение.
- В ячейку Xcur, в которой и будет идти циклический счет, ввел формулу: = ЕСЛИ(Xcur =0; Xinit; Xcur - (6- Xcur *(5- Xcur))/(2* Xcur -5))
- В две другие вспомогательные ячейки я поместил текст этой формулы и формулу, задающую вычисление функции в точке Xcur, позволяющую следить за качеством решения.
- Заметьте, что на первом шаге вычислений, функция IF (ЕСЛИ) поместит в ячейку Xcur начальное значение, а затем уже начнет счет по формуле на последующих шагах.
- Чтобы сменить начальное приближение, недостаточно изменить содержимое ячейки Xinit и запустить процесс вычислений. В этом случае вычисления будут продолжены, начиная с последнего вычисленного значения. Чтобы обнулить значение, хранящееся в ячейке Xcur, нужно заново записать туда формулу. Для этого достаточно выбрать ячейку и выделить текст формулы непосредственно в окне ее редактирования. Щелчок по Enter начнет вычисления с новым начальным приближением.
